数と式／式の証明
計算ですが、数学というだけあって単純なようで奥が深いです（フェルマーの定理をイメージしてもらえばわかると思います）。はじめは演習を豊富に行なって計算ミスを防ぐようにしましょう。ここの演習量がこの先学習する数学の諸分野に影響します。そして、高校数学をひととおり学んだ後でもう一度取り組んでみましょう。図形・ベクトル・複素数…さまざまな知識を用いて解き直してみてください。そうすれば数学が手のひらに転がってくるようになります。
また、整式の割り算はあまりテクニックに頼らず、余りを未知数を用いて置いた後、割る数が0になるような数を複素数でも構わず代入していけば解けていけます。重解のときは微分法を用いましょう。
命題と証明
命題の部分は堅苦しくて嫌われることも多いですが、具体例をもとに逆・裏・対偶を作り、その真偽を確認していきましょう。また、必要条件・十分条件については、はじめのうちは機械的に解いていっても十分ですが、慣れてきたら『これは必要な条件』『これで十分』と言い換えて考えるようにしていきましょう。
式の証明では（左辺）ー（右辺）が0（以上）であることを示すのが鉄則です。また、相加相乗・コーシーシュワルツといった特殊な不等式については使用場面を意識しながら学習していきましょう。
二次関数
この先、微積を除く分野で必ず必要になる基礎になる分野です。平方完成と関数の平行移動を図で書きながらモノにしましょう。平行移動は一般の関数にも使います。そして、とにかく図に書いて考えることが大切です。そうすれば、最大・最小の問題も解けていくはずです。場合分けが多いかもしれませんが、この分野は難しくできないのでややこしくしているだけです。ゆっくり取り組んでいけば大丈夫です。
三角比／三角関数
サインコサインで数学嫌いになる人も多いですが、イスラム数学の記法で今までなじみがなかっただけです。記法としては慣れてしまえばたいしたことはありません。見た目だけで実際に使っているのは三平方の定理だけです。
数Ⅰでは角度が180°までになっていますが、気にせず数Ⅱのエリアまで同時に学習してしまいましょう。加法定理は覚えてください。2倍角の公式はよく使うので覚えますが3倍角は都度加法定理から作りましょう。無理に覚える必要はありません。和積／積和公式も加法定理から都度導出しましょう。合成は加法定理を逆に使っただけですので、下手に公式を覚えずに都度加法定理を用いてください。
平面幾何
正弦定理・余弦定理は図形をかいて意味をしっかり取ってから覚えるようにしましょう。面積の公式もです。平面幾何はアイデアがモノをいいますが、たとえ思いつかなくてもこのあと図形と方程式やベクトル・複素数などでカバーがとれますから必要以上に気にやむ必要はありません。ただ、チェバ・メネラウスの定理・方べきの定理などの幾何の諸定理は使えるようになっておくと後あとラクです。
整数
素因数分解の一意性が大切です。これをベースに公約数／公倍数、ユークリッドの互除法や剰余類の概念をおさえていきましょう。特にユークリッドの互除法は不定方程式の解法等、使用場面をしっかりおさえて演習していきましょう。実は整数は高校数学でも難しいとされている分野で、典型パターンの問題ばかりではないのですが、一つ一つ丁寧に考えていきましょう。
場合の数・確率
順列・組み合わせは典型パターンをしっかりマスターしてから、それをここの場合にあてはめるようにしていきましょう。『とってくる』→『並べる』という思考が最もわかりやすいと思いますので、まずはコンビネーション、その後に階乗をとるようにしたらいいと思います。確率は苦手にする方も結構おられますが、順列主義だということを肝に命じてください。分母も分子も順列でとっていくと多少のめんどくささはありますが正答にたどり着けます。分母分子をコンビネーションだけで立式するのは、よく分かってからにしましょう。
データの分析／確率分布
統計ですが、数Ⅰではそこまで突っ込んだことを行いません。平均（期待値）・分散・標準偏差・相関係数といった統計量の意味と計算方法をおさえましょう。幸か不幸かて計算ですので、設問のデータ数は少ないです。思っているほど計算地獄にはなりません。あとはデータの散らばり具合の感覚が大切ですので、具体例に多くあたっていくようにしてください。数Bで学ぶほうは確率分布、検定になります。各分布での統計量の公式を覚えましょう。また、正規分布表にあてはめられるようにしましょう。信頼区間についても同様です。
図形と方程式
座標を用いて図形扱います。といっても直線と円が主役です。直線は中学のときからなじみが深いのでついy＝の形で考えがちになりますが、そうではなく＝0の形にして扱いましょう。実はこれ、直線のベクトル方程式（内積形）の成分表示です。ですので、x、yの係数を並べると直線の法線ベクトルです。このように、ベクトルとパラレルにみていくとわかりやすいです。円は式がどうしても二次式になってしまいますので、なるべく図に頼るようにし、点と直線の距離を用いるようにしましょう。
軌跡・領域も苦手とされることが多いですが、軌跡は与えられた条件を式に落とすだけです。ただ、文字を用いた計算になるので、ゼロ割り（分母ゼロ）の場合を場合わけしていけばいいだけです。領域は式の等号が不等号になって図の上では境界線からの領域になった、というそれだけなのですが、境界線のどちら側かは代表点で確認しましょう。また、曲線の通過範囲の問題はさまざま解き方があるので１パターンの解放だけにしないようにしましょう。
指数・対数
指数法則の拡張とその逆関数としての対数表記の問題です。この分野は単独で出題されることは少なく、他の分野と絡まされることが大半です。logに慣れることとその演算が指数法則の焼き直しであることを確認できれば十分です。桁数や最高位の数問題はサンプルで実験してから設問にあてはめると、下手に覚えることが減ります。
数列
まず、等差・等比・階差といった基本数列について一般項や和が出せるようにしましょう。シグマはそれ自体はただの和の記号です。シグマの公式はまずは覚える必要がありますが、その導出も大切ですので原理をしっかりおさえてください。
帰納法と漸化式、これらは扱う対象が論理か数字かだけの違いであり、考え方は同じであることをおさえましょう。そして、漸化式については典型パターンを全てマスターしましょう。それ以外のものは推測して帰納法に載せることが多いです。演習量がモノをいいますのでがんばりましょう。
ベクトル
単純でいて非常に有用なツールです。平面ベクトルでは、成分表示すると図形と方程式でやったことと同じになることが多いですが、計算量が多くなるのでなるべくベクトル表記のまま処理することを心がけてください。また、複素数平面の知識を用いるとベクトルの回転も可能になってくるので、図形問題等には有効です。
空間ベクトルでは図形イメージが大切なので、成分表示があってもまずは座標軸を無視して図をかくようにしましょう。それと空間では外積が定義できるので計算できるようにしましょう。これは公然の秘密です。あと空間図形の方程式を立てれるようにしましょう。直線はパラメータ表示が優秀ですが、平面は内積表示、すなわちxyzを用いた表記の方が優秀です。円錐の方程式も単純なので知っておくと何かと便利です。
複素数平面
複素数は足し算・引き算・実数倍については平面ベクトル、掛け算については回転（＋拡大）の役割を果たすことをしっかりとおさえてください。これらが単純計算でできるところに意味があります。これも非常に有用なツールですので、演習量を多くとって積極的に使いこなせるようにしましょう。
二次曲線
二次曲線の定義を2焦点からとる方法と１焦点と準線からとる方法があるので、どちらもおさえましょう。特に後者では極座標で考えるとラクに解けたりします。そして、二次曲線の問題はそのまま計算していくと激しい計算になることも多いです。いわゆる定番の問題は解き方ごと覚えてしまいましょう。あとは三角関数や双曲線関数を用いてパラメータ表示をしたり、楕円の問題は円になおして考えるとスムーズにいくことが多いです。
いろいろな曲線
パラメータ表示の取り方は三角関数／双曲線関数で十分です。極座標をおさえましょう。みなさんここを軽視するので差をつけやすいです。直線・円・二次曲線の極表示とともに式に出てくる数値の意味をおさえて直交座標に直さなくてもわかるようにしましょう。あと、極座標での面積や曲線の長さを積分を用いて計算できるようにしておくといいでしょう。
関数
分数関数／無理関数はグラフが切れているところに特徴があります。双曲線に放物線なので曲線的の形は見慣れているはずです。スラスラかけるようにしておきましょう。
合成関数・逆関数では、グラフを２枚用意したり横から見たりして、何をしているのかを体でわかってください。単に式で計算するだけですと、場合分けが多くて苦痛なだけになります。また、一次式は何回合成しても（逆をとっても）一次式です。これは知っておくと便利です。
極限
以降は数Ⅱと数Ⅲを同時に学習していかれたらと思います。まずは発散のスピードを意識しましょう。それをもとに先に答えを出してしまいましょう。特殊な極限公式は三角関数とeの定義の2つだけです。0や無限大になる部分だけを取り出して計算することを心がけましょう。無限級数は必ず部分和をとってから極限操作するようにしてください。中間地の定理や連続の定義など理論的な部分ははじめはとばしても構いませんので、計算演習を重点的にがんばってください。あとの微積分分野が終わった後でもう一度戻ってきましょう。微分の定義等を使ってさらに効率化を図って下さい。
微分法
ここもまずは計算重視でいきましょう。微分の定義、微分可能性、平均値の定理など理論的な部分は後回しでも構いません。十分な演習量をこなしましょう。次に関数のグラフをかく練習をしましょう。その際、極値だけでなく異常点、±♾️のときの振る舞い、そして漸近線に注意しましょう。不等式の証明では何回も微分することも多いかと思いますが、導関数がよくわからないので微分して振る舞いを見てその正負を確認している、というふうに目的意識をしっかり持って微分していくようにしましょう。数Ⅱでは３次関数を扱うことが多いと思いますが、これは微分したら２次関数になるので、解と係数の関係を用いた計算テクニックをきいている場合が多いです。
積分法
ここもまずは計算です。積分計算は微分の逆演算なので難しく、置換積分や部分積分を積極的に使いましょう。部分分数展開などテクニックを要しますのでとにかく計算量がモノをいいます。面積や体積の計算では図を描いてから行うようにしてください。体積は回転体が主ですが、斜め回転体のときは座標軸を置き直しましょう。非回転体のときはスライスして切り口を確認しながら行いますが、最近はそこまで芸術的なものはありませんので、誘導に乗るようにしてください。微分方程式はマイナーなのでそこまで気にする必要はありませんが、知っておくと物理の理解には有効です。数Ⅱでは二次関数の面積を問うことも多いですが、補助線を入れながら1/6公式等を用いると中学生バリに解くことができるのでオススメです。
