チャレンジ問題【パート3】

問題

解答

[１]

一般的に, 立方体に対し右図のように４点\(A, B, C, D\)をとって結ぶと正四面体ができる。（図１）

すなわち, 任意の正四面体に対し, 必ず立方体を外接させることができる。

正四面体\(A\)に対して, 立方体を概説させたときの立方体の１辺の長さを\(L\)とすると,

\(\sqrt{2}L=a\)　∴\(L=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

ここで, この立方体にな内接する球\(S\)を考えた時, 球\(S\)は正四面体\(A\)の６つの辺すべてに接している (接点は正四面体\(A\)の６つの辺の中点, すなわち立方体の６つの面の中心) (図２)

球\(S\)の直径は立方体の１辺の長さ\(L\)であるから, 求める半径\(R_0\)は

\(R_0=\frac{1}{2}L=\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}a\)　・・・(答)

[２]

方針
まず初めに組に区別をつけて考えた後で区別をなくし”重複”を除く

（１）

３つの袋を\(A, B, C\)と区別して考える。１枚もカードが入らない袋があっても良い場合は, カードの分け方は全部で

\(3^8=6561\) (通り)

(i) ８枚のカードを１つの袋だけに入れる分け方は\(3\) (通り)

(ii) １枚もカードが入らない袋が１つ以下となるような分け方は\(3^8-3=6558\) (通り)

ここで袋の区別をなくすと, (i)には\(3\)通り, (ii)には\(3!=6\)通りずつ同じ分け方が含まれる。

∴求める分け方の総数は

\(\frac{3}{3}+\frac{3^8-1}{3!}=1+1093=1094\) (通り)　・・・(答)

（２）３つの袋に\(A, B, C\)と区別があるもとで, どの袋にも少なくとも１枚のカードが入っているような分け方は

\(3^8-{3+3(2^8-2)}=6561-(3+3\cdot254)=5796\) (通り)

１つの袋だけが空となる分け方について, 空の袋の選び方が \({}_3 C_1=3\) (通り)で, 残りの２つの袋には少なくとも１枚のカードが入ることから, \(3(2^8-2)\) (通り)

ここで袋の区別をなくすと, \(3!=6\) (通り)ずつの重複を考えればよいから, 求める分け方は

\(\frac{5796}{3!}=966\) (通り)

[３]

方針
不等式変形により解の候補の絞り込みを行う

（１）

\((2<=)a<=b<=c\)を用いて不等式を変形していくと,

\begin{eqnarray}abc&=&2a+3b+7c-3<2a+3b+7c\\&<=&2c+3c+7c=12c\\ ∴abc&=&12c\end{eqnarray}

が成り立つ。
ここで \(c>=2>0\) であるから,

\(abc<12c\Rightarrow ab<12\)

また, \(2<=a<=b\) より \(4<=ab\)
したがって \(4<=ab<12\)
∴\((a,b)=(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3)\)
に絞り込める。

この５組各々に対し, 与式から直接\(c\)の値を求めると \(c=-\frac{7}{3},-10,13,\frac{16}{3},6\)

以上の組のうち, \(a,b,c\) がいずれも２以上の整数かつ \(a<=b<=c\) を満たす組は \((a,b,c)=(2,4,13),(3,3,6)\)・・・(答) のみで, これが求める組である。